기본 참조 01 · 거리와 넓이

수학고난도 문제중23쪽수학 사고로드맵 · 중2-2

각의 이등분선 · 점과 직선 사이의 거리 · 내심 · 내접원의 반지름 · 삼각형의 넓이 · 높이가 같은 삼각형 · 넓이의 비 · 중점 · 선분의 비

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이 자료는

「심화 01 · 각의 이등분선과 넓이」에서 사용하는 개념 네 가지를 모은 3쪽짜리 참조 자료입니다. 심화 01의 각 단계 아래 '관련 개념'에 적힌 번호 B22-01~B22-04가 이 자료의 항목 번호와 같습니다.

항목마다 '각이 같다는 조건을 언제 거리로 바꿀까?', '중점은 어떤 넓이를 같게 만들까?'처럼 문제에서 개념을 꺼내 쓰는 순간을 질문으로 붙이고, 확인할 것과 문제에서 쓰는 형태를 표로 정리했습니다. 잘못 쓰기 쉬운 경우는 '주의'로 따로 짚습니다.

개념의 자세한 설명과 증명은 싣지 않고, 각 항목의 '보유 개념서에서 찾기'에 개념서에서 찾아볼 개념 이름을 적어 두었습니다. 확인 문제는 없으며, 문제 연습은 짝 자료인 심화 01에서 합니다.

미리보기

실제 학습지의 일부입니다. 누르면 크게 볼 수 있습니다.

B22-02·03 내심과 둘레·넓이 · 높이가 같은 삼각형의 넓이 식 · 2쪽

핵심 정리 · 거리와 넓이

참조 자료 네 항목의 내용을 질문으로 정리했습니다. 그림과 표는 PDF에 있습니다.

각의 이등분선이 나오면 어떤 거리가 같나요?

점 P가 ∠A의 이등분선 위에 있으면, P에서 그 각의 두 변을 포함하는 직선에 내린 수선의 길이가 같습니다(PH = PJ). 두 변 위의 선분을 밑변으로 잡으면 이 같은 거리를 높이로 사용할 수 있습니다. 이 조건만으로 P에서 나머지 한 변까지의 거리나 각 꼭짓점까지의 길이가 같다고 할 수는 없습니다.

내심과 내접원의 반지름으로 삼각형의 넓이를 어떻게 구하나요?

내심 I에서 세 변까지의 거리는 모두 내접원의 반지름 r과 같습니다. I와 세 꼭짓점을 이어 만든 세 삼각형은 각 변을 밑변으로 잡을 때 높이가 모두 r이므로, △ABC의 넓이 = ½ × (AB + BC + CA) × r입니다. 거꾸로 r = 2 × (넓이) ÷ (둘레의 길이)로 반지름을 구할 수 있습니다.

내심에서 나눈 부분 삼각형의 넓이로 변의 길이를 구할 수 있나요?

네. 변 AB를 밑변으로 잡은 △AIB의 넓이는 ½ × AB × r이므로, AB = 2 × (△AIB의 넓이) ÷ r입니다. 이때 높이는 I에서 직선 AB에 내린 수선의 길이이며, IA나 IB를 높이 자리에 넣지 않습니다.

높이가 같은 두 삼각형은 밑변의 어떤 정보를 쓸 수 있나요?

밑변 길이가 a, b이고 높이가 h로 같으면, 넓이의 비는 a : b, 넓이의 합은 ½ (a + b)h, 넓이의 차는 ½ (a − b)h입니다. 같은 꼭짓점에서 같은 직선 위의 두 밑변을 바라보거나, 각의 이등분선·내심의 성질로 두 수선의 길이가 같음을 확인해야 합니다. 높이의 관계를 확인하지 않았다면 넓이의 비를 밑변의 비와 같다고 정할 수 없습니다.

중점은 어떤 넓이를 같게 만드나요?

M이 변 BC의 중점이면 BM = MC이므로, 같은 꼭짓점에서 선분 BM과 MC를 바라보는 두 삼각형의 넓이가 같습니다. △ABM과 △ACM, 직선 BC 위에 있지 않은 점 P에 대해 △PBM과 △PCM이 각각 같은 넓이입니다. 두 쌍은 서로 다른 비교이므로 A와 P에서 직선 BC까지의 높이가 같다는 뜻은 아닙니다.

점 D가 선분 BC를 m : n으로 나누면 넓이는 어떻게 되나요?

BD : DC = m : n이면 △ABD의 넓이 : △ACD의 넓이 = m : n입니다. 따라서 △ABD의 넓이는 △ABC의 넓이에 m/(m + n)을 곱한 값입니다.

핵심 용어

점과 직선 사이의 거리: 그 점에서 직선에 내린 수선의 길이
각의 이등분선의 성질: 각의 이등분선 위의 점에서 그 각의 두 변까지의 거리는 같음
내심: 삼각형의 두 내각의 이등분선의 교점. 세 변까지의 거리가 같음
내접원의 반지름 r: 내심에서 세 변에 내린 수선의 길이
높이가 같은 삼각형의 넓이: 넓이의 비·합·차를 밑변 길이의 비·합·차로 나타낼 수 있음
중점: 선분을 길이가 같은 두 부분으로 나누는 점(BM = MC)

다 풀고 나면

각의 이등분선 조건에서 어느 두 거리가 같은지 정확히 고르고, 그 거리를 높이로 사용할 수 있다.
내심과 내접원의 반지름으로 삼각형의 둘레와 넓이를 잇는 식을 쓰고, 거꾸로 반지름이나 변의 길이를 구할 수 있다.
높이가 같은지 먼저 확인한 뒤 밑변의 비·합·차를 넓이의 비·합·차로 옮길 수 있다.
중점이나 선분의 비가 주어졌을 때 같은 꼭짓점을 가진 두 삼각형의 넓이 관계를 쓸 수 있다.

이렇게 풀면 됩니다

「심화 01 · 각의 이등분선과 넓이」를 풀다가 '관련 개념'에 적힌 번호(B22-01~04)가 떠오르지 않을 때 이 자료에서 해당 항목을 찾아 읽습니다.
각 항목은 제목의 질문에 내 답을 먼저 말해 본 뒤, '문제에서 쓰는 형태' 표와 '주의'를 읽습니다. 특히 '주의'에 적힌 경우를 가린 채 왜 안 되는지 말해 봅니다.
개념 자체가 낯설면 '보유 개념서에서 찾기'에 적힌 이름으로 가지고 있는 개념서에서 설명과 증명을 찾아본 뒤 다시 돌아옵니다.

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