심화 01 · 각의 이등분선과 넓이

수학고난도 문제중210쪽수학 사고로드맵 · 중2-2

각의 이등분선 · 점과 직선 사이의 거리 · 내심 · 내접원의 반지름 · 삼각형의 넓이와 둘레 · 높이가 같은 삼각형 · 넓이의 차 · 중점 · 넓이의 비

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이 자료는

중2 2학기 「삼각형의 성질」의 심화 문제 하나를 골라, 주어진 조건이 어떤 개념을 거쳐 답까지 이어지는지 따라가는 사고로드맵입니다. 대표 문제는 △ABC에서 ∠A와 ∠B의 이등분선의 교점 I와 변 BC의 중점 M이 주어지고, 둘레·넓이·두 변의 길이의 차로 △AIM의 넓이를 구하는 문제입니다.

조건 ①~⑥을 표로 나눈 뒤, 내심 쪽 조건(흐름 A)과 중점 쪽 조건(흐름 B)이 같은 넓이 차에서 만나는 모습을 한 쪽짜리 지도로 먼저 보여 줍니다. 이어서 단계 1~4마다 '왜 수선을 그을까?', '두 변의 길이의 차는 어디에 쓸까?'처럼 떠올릴 생각을 질문으로 짚고, 조건이 달라지면 무엇을 새로 확인해야 하는지 비교표로 정리합니다. 각 단계에서 쓰는 개념은 짝 자료 「기본 참조 01 · 거리와 넓이」에 모아 두었습니다.

뒤쪽에 확인 문제 6개와 정답·해설이 있습니다.

미리보기

실제 학습지의 일부입니다. 누르면 크게 볼 수 있습니다.

단계 4 — 중점 M으로 △ABM과 △ABC를 나누어 넓이 관계 세우기 · 5쪽

핵심 정리 · 각의 이등분선과 넓이

대표 문제의 풀이 흐름을 질문으로 정리했습니다. 흐름 지도·그림·확인 문제는 PDF에 있습니다.

각의 이등분선과 넓이가 함께 나오면 왜 수선을 긋나요?

각의 이등분선 위의 점에서 그 각의 두 변까지의 거리는 같습니다. 넓이를 구하려면 변을 밑변으로 잡을 때의 높이가 필요하므로, 수선을 그어 같은 거리를 높이로 사용할 수 있는지 살펴봅니다. 대표 문제에서는 ∠A와 ∠B의 이등분선을 함께 써서 IH = IJ = IK = r을 얻고, I가 △ABC의 내심임을 확인합니다.

세 변의 길이를 몰라도 내접원의 반지름을 구할 수 있나요?

네. 내심 I와 세 꼭짓점을 이으면 △ABC가 △AIB, △BIC, △CIA로 나뉘고, 각 변을 밑변으로 잡으면 높이가 모두 r입니다. 그래서 △ABC의 넓이 = ½ × (AB + BC + CA) × r이 되어, 각 변의 길이는 몰라도 둘레와 넓이만으로 r을 구할 수 있습니다.

두 변의 길이의 차 AC − AB는 어디에 쓰나요?

두 변의 길이를 각각 구하라는 조건이 아닙니다. △AIC와 △AIB는 밑변을 변 AC, 변 AB로 잡으면 높이가 모두 r이므로, 두 넓이의 차는 ½ × (AC − AB) × r로 바로 구할 수 있습니다.

중점 M이 있으면 어떤 넓이가 같아지나요?

BM = MC이므로 같은 꼭짓점에서 두 밑변 BM, MC를 바라보는 두 쌍의 넓이가 각각 같습니다. 꼭짓점 A에서는 △ABM과 △ACM의 넓이가 같아 각각 전체 넓이의 절반이 되고, 꼭짓점 I에서는 △BIM과 △CIM의 넓이가 같습니다. 두 쌍의 높이가 서로 같은 것은 아니라는 점에 주의합니다.

△AIM의 넓이는 두 흐름을 어떻게 합쳐 구하나요?

△BIM과 △CIM의 넓이를 t, △AIM의 넓이를 x로 두고, I가 △ABM의 내부에 있다는 조건으로 △AIB의 넓이를 t와 x로 나타냅니다. 다시 △ABC 전체를 네 부분으로 나누어 △AIC의 넓이도 나타내면, 두 넓이의 차가 2x가 됩니다. 이 넓이 차는 흐름 A에서 두 변의 길이의 차로 구한 값과 같으므로, 두 흐름이 여기서 만나 x를 구합니다.

조건이 조금 바뀌어도 같은 풀이를 쓸 수 있나요?

바뀐 조건마다 새로 확인해야 합니다. P가 ∠A의 이등분선 위에만 있으면 직선 AB, AC까지의 거리만 같고 직선 BC까지의 거리는 알 수 없어 둘레와 r로 넓이를 계산할 근거가 없습니다. 또 D가 선분 BC를 2 : 1로 나누면 두 넓이를 같다고 놓을 수 없으므로, 대표 문제의 '넓이 차 = 2x'를 그대로 가져오지 않습니다.

핵심 용어

각의 이등분선의 성질: 각의 이등분선 위의 점에서 그 각의 두 변까지의 거리는 같음
점과 직선 사이의 거리: 그 점에서 직선에 내린 수선의 길이
내심: 삼각형의 두 내각의 이등분선의 교점. 세 변까지의 거리가 같음
내접원의 반지름 r: 내심에서 세 변까지의 거리. △ABC의 넓이 = ½ × (둘레의 길이) × r
높이가 같은 두 삼각형: 넓이의 차 = ½ × (밑변 길이의 차) × 높이
중점과 넓이: 같은 꼭짓점에서 선분 BM, MC를 밑변으로 보는 두 삼각형은 넓이가 같음

다 풀고 나면

각의 이등분선이 나오면 두 변까지의 같은 거리를 떠올리고, 그 거리를 넓이의 높이로 사용할 수 있다.
세 변의 길이를 몰라도 둘레와 넓이로 내접원의 반지름을 구할 수 있다.
높이가 같은 두 삼각형의 넓이 차를 밑변 길이의 차로 구할 수 있다.
중점에서 같은 넓이 두 쌍을 찾고, 어느 쌍의 높이가 공통인지 구별할 수 있다.
조건이 바뀌었을 때 대표 문제의 관계 중 그대로 쓸 수 있는 것과 새로 확인할 것을 나눌 수 있다.

이렇게 풀면 됩니다

1쪽에서 대표 문제를 먼저 혼자 생각해 본 뒤, 조건 ①~⑥과 목표를 나눈 표를 읽습니다. 2쪽 흐름 지도로 두 흐름이 어디서 만나는지 전체 모양을 봅니다.
단계 1~4는 제목의 질문에 내 답을 먼저 말해 본 뒤 설명을 읽습니다. '관련 개념'에 적힌 항목이 떠오르지 않으면 「기본 참조 01 · 거리와 넓이」에서 해당 번호(B22-01~04)를 찾아봅니다.
6쪽 비교표로 조건이 달라질 때 확인할 점을 정리한 뒤 확인 문제를 풉니다. 틀린 문제는 문항 옆에 적힌 단계나 비교표 행으로 돌아가 다시 읽습니다.

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