중2-2 도형 증명 10 · 왜 그 선을 긋고, 왜 그 삼각형을 비교할까?

수학실전 개념중231쪽수학 증명 훈련

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이 자료는

중2 2학기 도형 단원에서 증명 문제 10개를 골라, '왜 그 선을 긋고, 왜 그 삼각형을 비교할까?'를 따져 보는 자료입니다. 삼각형의 성질 3문제(01~03), 사각형의 성질 3문제(04~06), 도형의 닮음 3문제(07~09), 피타고라스 정리 1문제(10)로 이루어져 있습니다. 몇몇 문제에는 '쓸 수 없는 것'이 정해져 있어, 이미 알고 있는 성질을 그대로 인용하지 않고 그 성질이 성립하는 이유를 직접 보여야 합니다.

문제 쪽(2~11쪽)은 한 쪽에 한 문제씩이며, 문제 아래에 '주어진 것'과 '보일 것'을 나눈 표와 그림, 그리고 세 칸짜리 '증명 기록'이 있습니다. 증명 기록에는 추가한 선 또는 비교할 도형, 핵심 관계와 그 근거, 목표로 연결하는 방법을 직접 적습니다.

뒤쪽 '정답과 증명 해설'(12~31쪽)은 문제마다 두 쪽씩입니다. 조건을 수식으로 바꾼 표, 보조선을 긋는 이유를 묻는 질문과 답, 네 칸짜리 증명 흐름과 그림, 식(주장)과 근거를 나란히 적은 증명 표, 막히기 쉬운 지점, 증명 기록의 답 예가 차례로 실려 있습니다.

미리보기

실제 학습지의 일부입니다. 누르면 크게 볼 수 있습니다.

문제 01 이등변삼각형 안의 두 수선 — 주어진 것·보일 것 표와 그림, 세 칸짜리 증명 기록 · 2쪽

문제 05 마름모의 네 변의 중점을 이은 사각형 — 주어진 것·보일 것 표와 그림, 증명 기록 칸 · 6쪽

해설은 이렇게 생겼습니다 — 조건을 수식으로 바꾼 표, 보조선을 긋는 이유를 묻는 질문과 답, 네 칸 증명 흐름과 그림 · 12쪽

핵심 정리 · 중2-2 도형의 증명

문제 10개의 증명에서 핵심이 되는 생각을 질문으로 정리했습니다. 그림과 단계별 증명 표, 증명 기록의 답 예는 PDF에 있습니다.

이등변삼각형의 밑변 위의 점에서 두 변에 내린 수선의 길이의 합은 어떻게 증명하나요?

수선의 길이를 더해야 할 때는 넓이를 생각합니다. 삼각형의 넓이는 '밑변 × 높이 ÷ 2'이고 AB와 AC의 길이가 같으므로, PD와 PE를 각각 높이로 쓰면 두 넓이의 식에서 같은 밑변 길이를 묶을 수 있습니다. 그래서 선분 AP를 그어 △ABC를 △ABP와 △APC로 나누고, 밑변을 AC로 잡을 때 높이가 BH인 △ABC의 넓이식과 비교합니다.

직각삼각형에서 빗변의 중점이 세 꼭짓점까지 같은 거리에 있음을 어떻게 증명하나요?

AM을 M 쪽으로 같은 길이만큼 연장해 MA = MN인 점 N을 잡습니다. 그러면 M이 두 대각선 AN, BC의 공통 중점인 사각형 ABNC가 생기고, 한 내각이 직각이므로 이 사각형은 직사각형입니다. 두 대각선의 길이가 같다는 것을 보인 뒤, 각각 절반으로 나누어 MA, MB, MC를 비교합니다.

삼각형의 두 내각의 이등분선이 만나는 점과 나머지 꼭짓점을 이은 선분도 각을 이등분하나요?

네. 점 I에서 세 변에 수선을 내리면 각의 이등분 조건을 점과 직선 사이의 거리와 연결할 수 있습니다. 직각삼각형의 합동(RHA 합동) 두 쌍으로 I에서 세 변까지의 거리가 같음을 얻고, 이 길이를 이용해 C를 포함하는 두 직각삼각형이 RHS 합동임을 보입니다. 이때 같은 것은 IA, IB, IC가 아니라 세 수선의 길이 ID, IE, IF라는 점에 주의합니다.

평행사변형의 두 대각선의 교점을 지나는 직선으로 만든 사각형 AECF는 왜 평행사변형인가요?

새 사각형 AECF의 대각선은 AC와 EF입니다. AC가 O에서 이등분된다는 것은 알지만 EF도 O에서 이등분되는지는 아직 모르므로, OE = OF를 따로 보여야 합니다. △AOE와 △COF가 ASA 합동임을 보여 OE = OF를 얻으면, 두 대각선이 서로를 이등분하므로 평행사변형입니다.

마름모의 네 변의 중점을 이으면 왜 직사각형이 되나요?

마름모의 대각선 AC, BD를 그으면 '삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질'을 적용할 삼각형이 드러납니다. 이 성질로 사각형 EFGH의 두 쌍의 대변이 각각 평행함을 보여 먼저 평행사변형임을 확인합니다. 여기에 마름모의 두 대각선이 서로 수직이라는 조건을 더해 한 내각이 직각임을 보이면 직사각형이 됩니다.

사다리꼴에서 두 대각선이 만드는 △AOD와 △BOC의 넓이는 왜 같나요?

넓이가 같다고 해서 합동인 것은 아니므로, 먼저 밑변과 높이가 같은 두 큰 삼각형을 찾습니다. △ADC와 △BDC는 밑변 CD가 공통이고, AB ∥ CD이므로 높이가 같아 넓이가 같습니다. 두 삼각형에서 공통인 △DOC의 넓이를 각각 빼면 △AOD와 △BOC가 남습니다.

삼각형에서 내각의 이등분선이 마주 보는 변을 나누는 비 BD : DC = AB : AC는 어떻게 증명하나요?

AD에 평행한 선을 그으면 같은 각을 다른 꼭짓점으로 옮길 수 있습니다. BA를 연장하고 C를 지나 AD에 평행한 직선을 그어 만나는 점을 E라 하면, 동위각과 엇각으로 △ACE가 이등변삼각형이 되어 AE = AC입니다. 그다음 △BEC에서 평행선과 선분의 길이의 비를 쓰고 AE를 AC로 바꿉니다.

삼각형의 두 중선이 만나는 점이 중선을 2 : 1로 나눈다는 것은 어떻게 증명하나요?

두 중점 D, E를 이으면 DE는 AB와 평행하고 그 길이는 AB의 절반입니다. 맞꼭지각과 엇각으로 △GAB와 △GDE가 AA 닮음임을 보이면, 증명하려는 선분비가 닮은 삼각형의 대응변의 비로 나타납니다. AG : GD = 2 : 1이고, 전체와 짧은 부분의 비 AD : GD는 3 : 1이라는 점을 구별합니다.

직각삼각형에서 빗변에 내린 수선의 길이의 제곱은 왜 BH × CH와 같나요?

AH, BH, CH를 함께 포함하는 △BAH와 △ACH를 고릅니다. 두 삼각형은 직각과 한 예각의 크기가 각각 같아 AA 닮음이고, AH가 한 삼각형에서는 한 변, 다른 삼각형에서는 다른 변에 대응합니다. 그래서 BH : AH = AH : CH를 얻고, 이를 곱셈식으로 바꿉니다.

피타고라스 정리는 정사각형 두 개로 어떻게 증명하나요?

한 변의 길이가 a + b인 정사각형 두 개에 합동인 직각삼각형을 4개씩 서로 다르게 배열합니다. 바깥 정사각형의 크기와 그 안에 넣는 네 삼각형의 크기가 각각 같으므로 남는 부분의 넓이도 같습니다. 한쪽에는 한 변이 c인 정사각형이, 다른 쪽에는 한 변이 각각 a, b인 정사각형 두 개가 남도록 배열합니다.

네 변의 길이가 모두 같으면 정사각형이라고 해도 되나요?

안 됩니다. 네 변이 같다는 사실만으로는 마름모까지만 알 수 있습니다. 정사각형임을 보이려면 내각이 직각이라는 근거가 더 필요하며, 이 자료에서는 직각삼각형의 두 예각의 크기의 합이 90°라는 것을 이용해 가운데 사각형의 각 내각이 직각임을 보입니다.

증명 문제에서 보조선은 왜 긋나요?

주어진 조건을 보일 것과 연결할 도형을 만들기 위해서입니다. 이 자료에서는 넓이를 나누는 선분, 중선의 연장선, 한 점에서 세 변에 내린 수선, 마름모의 대각선, 각의 이등분선에 평행한 직선, 두 중점을 이은 선분을 긋습니다. 문제를 풀 때는 추가한 선 또는 비교할 도형, 핵심 관계와 그 근거, 목표로 연결하는 방법을 차례로 적습니다.

핵심 용어

주어진 것과 보일 것: 문제의 조건과 증명해야 할 결론을 나누어 적은 것
증명 기록: 추가한 선 또는 비교할 도형, 핵심 관계와 그 근거, 목표로 연결하는 방법을 적는 세 칸
쓸 수 없는 것: 그 문제에서 근거로 인용하지 않기로 정한 성질이나 공식
SAS 합동: 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같을 때의 합동
ASA 합동: 한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 각각 같을 때의 합동
RHA 합동: 두 직각삼각형의 빗변의 길이와 한 예각의 크기가 각각 같을 때의 합동
RHS 합동: 두 직각삼각형의 빗변과 다른 한 변의 길이가 각각 같을 때의 합동
AA 닮음: 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같을 때의 닮음
평행사변형이 되는 조건: 두 대각선이 서로를 이등분하거나, 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형
직사각형: 한 내각이 직각인 평행사변형. 두 대각선의 길이가 같음
마름모의 대각선: 마름모의 두 대각선은 서로 수직임
삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질: 나머지 한 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 한 변의 길이의 ½임
평행한 두 직선 사이의 거리: AB ∥ CD이면 A, B에서 직선 CD까지의 거리가 같음
삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비: △BEC에서 AD ∥ EC이면 BA : AE = BD : DC
대응변의 길이의 비: 닮은 두 삼각형에서 대응변의 길이의 비는 같음

다 풀고 나면

문제의 조건을 '주어진 것'과 '보일 것'으로 나누고, 조건을 수식으로 바꾸어 쓸 수 있다.
보조선을 왜 긋는지 설명하고, 그은 선으로 생기는 도형에서 핵심 관계를 찾을 수 있다.
삼각형의 합동을 보일 때 대응하는 꼭짓점의 순서와 판정 근거를 밝혀 쓸 수 있다.
원래 도형의 성질을 새 사각형이 평행사변형·직사각형이 되는 조건으로 연결할 수 있다.
닮은 두 삼각형을 찾아 대응변의 길이의 비로 선분의 길이의 비와 곱셈식을 이끌어 낼 수 있다.
같은 넓이에서 같은 넓이를 빼는 생각으로 넓이가 같음과 피타고라스 정리를 설명할 수 있다.

이렇게 풀면 됩니다

1쪽 차례에서 문제와 해설의 쪽을 확인한 뒤, 2~11쪽의 문제를 한 쪽씩 풉니다. '주어진 것'과 '보일 것'을 읽고, '쓸 수 없는 것'이 적힌 문제는 그 성질을 근거로 쓰지 않습니다.
해설을 보기 전에 '증명 기록' 세 칸을 직접 채웁니다. 보조선을 그었다면 그리는 방법을, 합동이나 닮음을 사용했다면 대응하는 꼭짓점의 순서와 판정 근거를 씁니다.
12쪽부터 시작하는 해설에서는 '조건 → 수식' 표와 질문·답을 먼저 읽고 증명 흐름 네 칸과 그림을 본 뒤, 증명 표의 식(주장)과 근거를 한 줄씩 내 증명과 비교합니다.
'막히기 쉬운 지점'에서 틀린 생각과 바른 생각을 견주어 보고, '증명 기록의 답 예'와 내가 적은 내용을 맞춰 봅니다. 막혔던 문제는 며칠 뒤 문제 쪽만 보고 다시 증명해 봅니다.

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